Seno e Cosseno

Seno e Cosseno da Soma e da Diferença:
Conhecendo o seno, cosseno dos ângulos: 30º, 45º,60º podemos obter o seno e cosseno dos ângulos: 15º(45-30 ou 60-45), 75º(30+45),105º(45+60) a partir das fórmulas abaixo:

• sen(a+b)= sena.cosb + senb.cosa
• sen(a-b )= sena.cosb -  senb.cosa
• cos(a+b)= cosa.cosb -  sena.senb
• cos(a-b )= cosa.cosb + sena.senb

Exemplo:

1-) Calcule o sen50º.cos20º-sen20ºcos50º

sen(50-20)=sen30º 

sen30º=1/2

2-) Calcule o sen15º

sen(45º-30º)=
sena.cosb - senb.cosa=
sen45º.cos30º - sen30º.cos45º=
√2/2. √3/2        - 1/2.       √2/2=
√ 6/2- √2/4

3-) Sendo sena=1/3 e senb= 1/4, 0<a<pi/2 e 0<b<pi/2. Calcule sen (a+b).

Sabemos que para obter sen(a+b) basta usar uma das fórmulas apresentadas acima. Sendo assim:

sen(a+b)= sena.cosb + senb.cosa
sen1/3.cosb + 1/4.cosa

Agora nessa situação é mais fácil continuarmos se desenharmos um triângulo retângulo e descobrirmos através de Pitágoras o valor de todos os lados do nosso triângulo e a partir daí descobrirmos os cossenos:

  

Dessa forma, fica mais fácil de determinarmos os cossenos.
cos=ca/a
a)2√2/3 e b)√15/4

Voltando:
sen1/3.cosb + 1/4.cosa
sen1/3.cos√15/4 + 1/4.2√2 =
√15/12 + 2√2/12 =
√15/12 + √2/6 =
√15+2√2/12


Seno e Cosseno do Dobro de um Arco:

• sen2x= 2senx.cosx
• cos2x= cos²x - sen²x

Exemplo:

1-) Calcule: E= cos²15° - sen²15°

Conhecendo as fórmulas demonstradas à cima:

  cos2x = cos²x - sen²x 

         E =cos²15°-sen²15°

cos2.15=cos²15°-sen²15°

cos30° =cos²15°-sen²15°

    √3/2 =cos²15°-sen²15°

        E=  √3/2 

O importante é não esquecer as fórmulas e como elas podem ser substituídas.